Limite d'une fonction - Spécialité
Théorème de comparaison, croissance comparée et théorème des gendarmes
Exercice 1 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit \( f \) la fonction définie sur \(]6, +\infty[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{3x}{- x + \operatorname{sin}{\left(3x \right)} + 4}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction \( f \), ne contenant plus de fonction trigonométrique,
pour
\( x \) suffisamment grand.
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{\dfrac{3x}{- x + \operatorname{sin}{\left(3x \right)} + 4}}\]
Exercice 2 : Croissance comparée logarithme et puissance de x
Déterminer
\[ \lim_{x \to -\infty}{-8 + \dfrac{\operatorname{ln}\left(3x^{2} -6x + 9\right)}{9x^{2} + 5x + 3}} \]
Exercice 3 : Limite par encadrement, fonction trigo au numérateur
Soit f la fonction définie sur \(\left]-\infty; \dfrac{4}{3}\right[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{-3x + \operatorname{sin}{\left (2x \right )} -2}{-3x + 4}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; \dfrac{4}{3}\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; \dfrac{4}{3}\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{-3x + \operatorname{sin}{\left (2x \right )} -2}{-3x + 4}}\]
Exercice 4 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto -3x^{3} -5\operatorname{cos}{\left (6x -8 \right )}\]
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{-3x^{3} -5\operatorname{cos}{\left (6x -8 \right )}}\]
Exercice 5 : Limite exponentielle négative et croissance comparée
Déterminer
\[ \lim_{x \to +\infty}{-10x^{8}e^{- x} -5} \]